La investigación en gráficos por computadora y procesamiento de geometría proporciona las herramientas necesarias para simular fenómenos físicos como el fuego y las llamas, lo que facilita la creación de efectos visuales en videojuegos y películas, así como la fabricación de formas geométricas complejas utilizando herramientas como la impresión 3D.
En segundo plano, los problemas matemáticos denominados ecuaciones diferenciales parciales (EDP) modelan estos procesos naturales. Entre las muchas EDP que se utilizan en física y gráficos por ordenador, una clase denominada EDP parabólicas de segundo orden explica cómo los fenómenos pueden volverse suaves con el tiempo. El ejemplo más famoso de esta clase es la ecuación del calor, que predice cómo se difunde el calor a lo largo de una superficie o en un volumen a lo largo del tiempo.
Los investigadores en el campo del procesamiento geométrico han diseñado numerosos algoritmos para resolver estos problemas en superficies curvas, pero sus métodos suelen aplicarse únicamente a problemas lineales o a una única ecuación diferencial parcial. Un enfoque más general elaborado por investigadores del Laboratorio de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial (CSAIL) del MIT aborda una clase general de estos problemas potencialmente no lineales.
En un artículo publicado recientemente en la revista Transacciones en gráficos En un artículo publicado en la revista y presentado en la conferencia SIGGRAPH, describen un algoritmo que resuelve diferentes ecuaciones diferenciales parciales parabólicas no lineales en mallas de triángulos dividiéndolas en tres ecuaciones más simples que se pueden resolver con técnicas que los investigadores de gráficos ya tienen en su conjunto de herramientas de software. Este marco puede ayudar a analizar mejor las formas y modelar procesos dinámicos complejos.
“Ofrecemos una receta: si quieres resolver numéricamente una ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden, puedes seguir un conjunto de tres pasos”, dice la autora principal Leticia Mattos Da Silva SM ’23, estudiante de doctorado del MIT en ingeniería eléctrica y ciencias de la computación (EECS) y afiliada a CSAIL. “En cada uno de los pasos de este enfoque, estás resolviendo un problema más simple utilizando herramientas más simples de procesamiento de geometría, pero al final, obtienes una solución a la ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden más desafiante”.
Para lograr esto, Da Silva y sus coautores utilizaron la división de Strang, una técnica que permite a los investigadores de procesamiento geométrico dividir la PDE en problemas que saben cómo resolver de manera eficiente.
En primer lugar, su algoritmo avanza una solución en el tiempo resolviendo la ecuación del calor (también llamada “ecuación de difusión”), que modela cómo el calor de una fuente se propaga sobre una forma. Imaginemos que utilizamos un soplete para calentar una placa de metal: esta ecuación describe cómo se difundiría el calor de ese punto sobre ella. Este paso se puede completar fácilmente con álgebra lineal.
Ahora, imaginemos que la ecuación diferencial parcial parabólica tiene comportamientos no lineales adicionales que no se describen mediante la propagación del calor. Aquí es donde entra en juego el segundo paso del algoritmo: tiene en cuenta la parte no lineal resolviendo una ecuación de Hamilton-Jacobi (HJ), una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden.
Si bien las ecuaciones HJ genéricas pueden ser difíciles de resolver, Mattos Da Silva y sus coautores demuestran que su método de división aplicado a muchas EDP importantes produce una ecuación HJ que se puede resolver mediante algoritmos de optimización convexa. La optimización convexa es una herramienta estándar para la que los investigadores en procesamiento de geometría ya cuentan con un software eficiente y confiable. En el paso final, el algoritmo avanza una solución hacia adelante en el tiempo utilizando nuevamente la ecuación del calor para avanzar la EDP parabólica de segundo orden más compleja hacia adelante en el tiempo.
Entre otras aplicaciones, el marco podría ayudar a simular incendios y llamas de manera más eficiente. “Hay un enorme proceso que crea un video con llamas simuladas, pero en el centro de todo esto hay un solucionador de ecuaciones diferenciales parciales”, dice Mattos Da Silva. Para estos procesos, un paso esencial es resolver la ecuación G, una ecuación diferencial parcial parabólica no lineal que modela la propagación frontal de la llama y que se puede resolver utilizando el marco de los investigadores.
El algoritmo del equipo también puede resolver la ecuación de difusión en el dominio logarítmico, donde se vuelve no lineal. El autor principal Justin Solomon, profesor asociado de EECS y líder del Grupo de Procesamiento de Datos Geométricos de CSAIL, desarrolló previamente una técnica de vanguardia para el transporte óptimo que requiere tomar el logaritmo del resultado de la difusión del calor. El marco de Mattos Da Silva proporcionó cálculos más confiables al realizar la difusión directamente en el dominio logarítmico. Esto permitió una forma más estable de, por ejemplo, encontrar una noción geométrica de promedio entre distribuciones en mallas de superficie como un modelo de un koala.
Aunque su marco se centra en problemas generales no lineales, también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales. Por ejemplo, el método resuelve la ecuación de Fokker-Planck, en la que el calor se difunde de forma lineal, pero hay términos adicionales que se desplazan en la misma dirección en la que se propaga el calor. En una aplicación sencilla, el enfoque modeló cómo se desarrollarían los remolinos sobre la superficie de una esfera triangulada. El resultado se asemeja a un arte de café con leche morado y marrón.
Los investigadores señalan que este proyecto es un punto de partida para abordar directamente la no linealidad en otras ecuaciones diferenciales parciales que aparecen en el procesamiento de gráficos y geometría. Por ejemplo, se centraron en superficies estáticas, pero les gustaría aplicar su trabajo también a las que se mueven. Además, su marco resuelve problemas que involucran una sola ecuación diferencial parcial parabólica, pero al equipo también le gustaría abordar problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales parabólicas acopladas. Este tipo de problemas surgen en biología y química, donde la ecuación que describe la evolución de cada agente en una mezcla, por ejemplo, está vinculada a las ecuaciones de los demás.
Mattos Da Silva y Solomon escribieron el artículo junto con Oded Stein, profesor adjunto de la Escuela de Ingeniería Viterbi de la Universidad del Sur de California. Su trabajo fue financiado, en parte, por una beca del MIT Schwarzman College of Computing financiada por Google, una beca MathWorks, la Fundación Nacional de Ciencias de Suiza, la Oficina de Investigación del Ejército de los EE. UU., la Oficina de Investigación Científica de la Fuerza Aérea de los EE. UU., la Fundación Nacional de Ciencias de los EE. UU., el Laboratorio de IA Watson del MIT-IBM, el Centro de Investigación Conjunta Toyota-CSAIL, Adobe Systems y Google Research.
